矩阵的那些性质与应用-迹Tr(A)、转置

矩阵乘法运算满足如下基本性质:
1.\(({\bf{AB}}){\bf{C}} = {\bf{A}}({\bf{BC}})\)
2.\({\bf{A}}({\bf{B}} + {\bf{C}}) = {\bf{AB}} + {\bf{AC}}\)
但不满足交换律\({\bf{AB}} \ne {\bf{BA}}\)

转置满足的性质:
1.\({({\bf{A}} + {\bf{B}})^T} = ({{\bf{A}}^T} + {{\bf{B}}^T})\)
2.\({({\bf{AB}})^T} = {{\bf{B}}^T}{{\bf{A}}^T}\)

定义:若A是方阵,称其对角线元素之和为A的迹,记作Tr(A),即:
\[Tr({\bf{A}}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}} \]
性质1:设A为n阶方阵,则有
\[Tr({\bf{A}}) = Tr({{\bf{A}}^T})\]
性质2:若A、B都是n阶方阵,则有
\[Tr({\bf{AB}}) = Tr({\bf{BA}})\]
性质3:若A、B、C都是n阶的是对称矩阵,则有
\[Tr({\bf{ABC}}) = Tr({\bf{ACB}}) = Tr({\bf{BAC}}) = Tr({\bf{BCA}}) = Tr({\bf{CAB}}) = Tr({\bf{CBA}})\]
证明:因为都是是对称矩阵,则
\[Tr({\bf{ABC}}) = Tr{({\bf{ABC}})^T} = Tr({{\bf{C}}^T}{{\bf{B}}^T}{{\bf{A}}^T}) = Tr({\bf{CBA}})\]
性质4:范数与迹的一些性质
\[{\left\| {\bf{A}} \right\|_F} = {(\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {{{\left| {{a_{ij}}} \right|}^2}} {)^{1/2}} = (} Tr({{\bf{A}}^T}{\bf{A}}))^{1/2}} = {(Tr({\bf{A}}{{\bf{A}}^T}))^{1/2}}\]
这个性质在某些优化问题中很重要。注意: \({{\bf{A}}^T}{\bf{A}}\)和 \({{\bf{A}}}{\bf{A}^T}\)具有相同的特征值和迹。
另外一个性质:矩阵的特征值之和等于这个矩阵的迹。

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